Dimostrazione alternativa del II teorema di Euclide

matematica, Scuola

Questo teorema, nei nostri manuali scolastici, viene quasi sempre dimostrato applicando il teorema di Pitagora e il I teorema di Euclide. Infatti, in riferimento al triangolo rettangolo AHC di fig. 4, il teorema di Pitagora ci dice che il quadrato costruito su CH è equivalente alla differenza tra il quadrato costruito su AC e quello costruito su AH. Allora, poiché per il I teorema di Euclide il quadrato costruito su AC è equivalente al rettangolo costruito sull’ipotenusa AB e sul segmento AH, la differenza tra questo rettangolo e il quadrato costruito su AH ci dà proprio il rettangolo costruito sulle proiezioni AH e HB rispettivamente dei cateti AC e CB.

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D’altro canto, questo tipo di ragionamento può essere facilmente invertito, provando così che il teorema di Pitagora (che, peraltro, può essere dimostrato facilmente senza usare il I teorema di Euclide) e il II teorema di Euclide assicurano il I teorema di Euclide.

Però in questa sede noi vogliamo dare una dimostrazione del II teorema di Euclide che sia indipendente dai due teoremi usati precedentemente.

 

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